Deelbaar van 1 tot en met 9 - reken rdzl
Vind een getal van 9 cijfers waarin de cijfers 1 tot 9 allen een keer in voorkomen. Dit getal moet aan de volgende voorwaarden voldoen:
a: het getal moet deelbaar zijn door 9
b: als het meest rechtse cijfer wordt weggehaald moet het overgebleven getal van 8 cijfers deelbaar zijn door 8
c: als daarna opnieuw het meest rechtse cijfer wordt weggehaald moet het overgebleven getal van 7 cijfers deelbaar zijn door 7
d: enz. tot het laatst overgebleven getal van 1 cijfer dat deelbaar moet zijn door 1.
a: het getal moet deelbaar zijn door 9
b: als het meest rechtse cijfer wordt weggehaald moet het overgebleven getal van 8 cijfers deelbaar zijn door 8
c: als daarna opnieuw het meest rechtse cijfer wordt weggehaald moet het overgebleven getal van 7 cijfers deelbaar zijn door 7
d: enz. tot het laatst overgebleven getal van 1 cijfer dat deelbaar moet zijn door 1.
Uitleg
381654729
want
381654729 / 9 = 42406081
38165472 / 8 = 477068
3816547 / 7 = 545221
381654 / 6 = 63609
38165 / 5 = 7633
3816 / 4 = 954
381 / 3 = 127
38 / 2 = 19
3 / 1 = 3
Hoe kom je nu aan dit getal?
Noem het de cijfers van het te zoeken getal G respectievelijk a1 tot en met a9. Het getal kan dan worden opgeschreven als G = a1a2a3a4a5a6a7a8a9. Voor het gemak noteren we G(1) = a1, G(2) = a1a2, ..., G(9) = G.
Stap 1.
Direct is duidelijk dat a5 = 5, want als er nog maar vijf cijfers over zijn is het getal a1a2a3a4a5, en dat getal moet deelbaar zijn door 5, dat kan alleen als a5 = 5. (Of 0, maar alleen 1 tot en met 9 komen voor).
Stap 2.
Een oneven getal is niet deelbaar door een even getal.
Dus a2,a4,a6 en a8 moeten even getallen zijn omdat als ze oneven waren G(2) niet door 2 deelbaar zou kunnen zijn, G(4) niet door 4, enzovoorts.
Dus a2,a4,a6,a8 = 2,4,6 of 8.
Stap 3.
Omdat zich in G vier even getallen bevinden die op de plaatsen 2,4,6 en 8 moeten komen te staan moeten a1,a3,a5,a7 en a9 wel oneven zijn. Gebruikmakend van stap 1, a1,a3,a7,a9 = 1, 3, 7 of 9.
Stap 4.
G(6) moet deelbaar zijn door 6. Als een getal deelbaar is door zes dan moet het even zijn en moet de som van de cijfers deelbaar zijn door 3. Omdat a6 even moet zijn is G(6) even. G(6) is deelbaar door drie als a1+a2+a3+a4+a5+a6 deelbaar door drie is. Omdat G(3) deelbaar door drie moet zijn is a1+a2+a3 al deelbaar door drie. Dus G(6) is deelbaar door drie als ook a4+a5+a6 deelbaar door drie is. We weten van stap 1 dat a5 = 5. Dus a4a5a6 is ofwel 258, 456, 654, 852. Maar hiervan zijn alleen 258 en 654 deelbaar door drie.
Dus: a4a5a6 = 258 of 654.
Stap 5.
Omdat 200, 400, 600, 800 en 1000 deelbaar zijn door 8 is een getal waarvan het twee na laatste cijfer even is deelbaar door 8 wanneer het getal gevormd uit de laatste twee cijfers deelbaar is door 8. Bijvoorbeeld 234216 is deelbaar door 8 omdat het twee na laatste getal (2) even is en 16 ook deelbaar is door 8.
a6 is even. Dus G(8) is deelbaar door 8 als a7a8 deelbaar door 8 is. a7 is een oneven getal, a8 even.
Dus de enige mogelijkheden zijn: a7a8 = 16, 32, 72, 96.
Stap 6.
Uit Stap 4 volgt dat a4 = 2 of 6.
Als a4 = 2, dan a6 = 8 (Stap 4), a8 = 6 (Stap 5). Met Stap 5 volgt dan ook dat a7 = 1 of 9.
Als a4 = 6, dan a6 = 4 (Stap 4), a8 = 2 (Stap 5). Met Stap 5 volgt dan ook dat a7 = 3 of 7.
Hieruit volgt ook dat a2 alleen 4 of 8 kan zijn.
Stap 7.
Een getal is deelbaar door drie als de som van de cijfers deelbaar is door drie. Omdat G(3) deelbaar moet zijn door 3 hebben we gebruik makend van het feit dat a2 = 4 of 8 (Stap 6) de volgende mogelijkheden: G(3) = 147, 183, 189, 381, 387, 741, 783, 789, 981, 987.
Stap 8.
Een getal is deelbaar door negen als de som van de cijfers deelbaar is door negen. Voor het getal in questie G is dit altijd het geval omdat 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 wat deelbaar is door negen.
Met de resultaten van de vorige stappen komen we op de volgende mogelijkheden voor G:
147258963
183654729
189654327
189654723
381654729
741258963
789654321
981654327
981654723
987654321
We hebben nog niet gecontroleerd of G(7) deelbaar is door 7. De bovenste mogelijkheden kun je gemakkelijk controleren. Het blijkt dat alleen G(7) = 3816547 deelbaar is door 7.
Dus het getal is gevonden, er is maar een mogelijkheid: G = 381654729.
want
381654729 / 9 = 42406081
38165472 / 8 = 477068
3816547 / 7 = 545221
381654 / 6 = 63609
38165 / 5 = 7633
3816 / 4 = 954
381 / 3 = 127
38 / 2 = 19
3 / 1 = 3
Hoe kom je nu aan dit getal?
Noem het de cijfers van het te zoeken getal G respectievelijk a1 tot en met a9. Het getal kan dan worden opgeschreven als G = a1a2a3a4a5a6a7a8a9. Voor het gemak noteren we G(1) = a1, G(2) = a1a2, ..., G(9) = G.
Stap 1.
Direct is duidelijk dat a5 = 5, want als er nog maar vijf cijfers over zijn is het getal a1a2a3a4a5, en dat getal moet deelbaar zijn door 5, dat kan alleen als a5 = 5. (Of 0, maar alleen 1 tot en met 9 komen voor).
Stap 2.
Een oneven getal is niet deelbaar door een even getal.
Dus a2,a4,a6 en a8 moeten even getallen zijn omdat als ze oneven waren G(2) niet door 2 deelbaar zou kunnen zijn, G(4) niet door 4, enzovoorts.
Dus a2,a4,a6,a8 = 2,4,6 of 8.
Stap 3.
Omdat zich in G vier even getallen bevinden die op de plaatsen 2,4,6 en 8 moeten komen te staan moeten a1,a3,a5,a7 en a9 wel oneven zijn. Gebruikmakend van stap 1, a1,a3,a7,a9 = 1, 3, 7 of 9.
Stap 4.
G(6) moet deelbaar zijn door 6. Als een getal deelbaar is door zes dan moet het even zijn en moet de som van de cijfers deelbaar zijn door 3. Omdat a6 even moet zijn is G(6) even. G(6) is deelbaar door drie als a1+a2+a3+a4+a5+a6 deelbaar door drie is. Omdat G(3) deelbaar door drie moet zijn is a1+a2+a3 al deelbaar door drie. Dus G(6) is deelbaar door drie als ook a4+a5+a6 deelbaar door drie is. We weten van stap 1 dat a5 = 5. Dus a4a5a6 is ofwel 258, 456, 654, 852. Maar hiervan zijn alleen 258 en 654 deelbaar door drie.
Dus: a4a5a6 = 258 of 654.
Stap 5.
Omdat 200, 400, 600, 800 en 1000 deelbaar zijn door 8 is een getal waarvan het twee na laatste cijfer even is deelbaar door 8 wanneer het getal gevormd uit de laatste twee cijfers deelbaar is door 8. Bijvoorbeeld 234216 is deelbaar door 8 omdat het twee na laatste getal (2) even is en 16 ook deelbaar is door 8.
a6 is even. Dus G(8) is deelbaar door 8 als a7a8 deelbaar door 8 is. a7 is een oneven getal, a8 even.
Dus de enige mogelijkheden zijn: a7a8 = 16, 32, 72, 96.
Stap 6.
Uit Stap 4 volgt dat a4 = 2 of 6.
Als a4 = 2, dan a6 = 8 (Stap 4), a8 = 6 (Stap 5). Met Stap 5 volgt dan ook dat a7 = 1 of 9.
Als a4 = 6, dan a6 = 4 (Stap 4), a8 = 2 (Stap 5). Met Stap 5 volgt dan ook dat a7 = 3 of 7.
Hieruit volgt ook dat a2 alleen 4 of 8 kan zijn.
Stap 7.
Een getal is deelbaar door drie als de som van de cijfers deelbaar is door drie. Omdat G(3) deelbaar moet zijn door 3 hebben we gebruik makend van het feit dat a2 = 4 of 8 (Stap 6) de volgende mogelijkheden: G(3) = 147, 183, 189, 381, 387, 741, 783, 789, 981, 987.
Stap 8.
Een getal is deelbaar door negen als de som van de cijfers deelbaar is door negen. Voor het getal in questie G is dit altijd het geval omdat 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 wat deelbaar is door negen.
Met de resultaten van de vorige stappen komen we op de volgende mogelijkheden voor G:
147258963
183654729
189654327
189654723
381654729
741258963
789654321
981654327
981654723
987654321
We hebben nog niet gecontroleerd of G(7) deelbaar is door 7. De bovenste mogelijkheden kun je gemakkelijk controleren. Het blijkt dat alleen G(7) = 3816547 deelbaar is door 7.
Dus het getal is gevonden, er is maar een mogelijkheid: G = 381654729.
|
|