De toren van rdzl - wetenschaps rdzl
| Stel je je hebt een onbeperkt aantal stenen en geen cement of iets dergelijks om de stenen aan elkaar vast te maken. Je wilt net zo'n soort toren bouwen als in het plaatje. Hoeveel stenen heb je minimaal nodig om er voor te zorgen dat de bovenste steen drie stenen verschoven is ten opzichte van de onderste? |
|
Uitleg
Als je een toren van twee stenen bouwt kan de bovenste steen maximaal
een halve steen verschoven zijn ten op zichte van de onderste. Als je de steen namelijk verder legt, ligt het zwaartepunt van de bovenste steen niet meer boven maar naast de onderste steen en zal de toren kantelen. Het zwaartepunt van deze toren van twee stenen ligt op (afstand tot zwaartepunt onderste steen + afstand tot zwaartepunt bovenste steen / (totaal gewicht) = (1/2 + 3/2) / 2 = 3/4 steenlengtes vanaf de zijkant van de onderste steen.
Je kan deze toren van twee stenen bovenop een derde steen zetten. Het zwaartepunt van de bovenste twee stenen samen moet dan weer net langs de rand van de onderste steen liggen. Dat impliceert dat de een na onderste steen steen maximaal 1/4 steen verschoven kan zijn ten opzichte van de onderste. De maximale verschuiving met een toren van drie stenen is dus 1/2+1/4 = 3/4. Het zwaartepunt van de toren van drie stenen ligt op (1/2 + 3/4 + 5/4) / 3 = 5 / 6.
Als je een toren van vier stenen wilt bouwen zet je weer de toren van drie bovenop een nieuwe onderste steen. Omdat het zwaartepunt van de toren met drie stenen op 5/6 steenlengte ligt vanaf de zijkant van de onderste steen van de torens met drie stenen, kan je de toren van drie maximaal 1/6 verschuiven. De totale verschuiving dan dus (1/6 + 1/4 + 1/2) = 11/12.
Als je op deze manier doorredeneert kun je concluderen dat de maximale verschuiving voor een toren van N stenen gelijk is aan
[ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...... + 1/(N-1) ] / 2.
De opgave is om te bepalen hoeveel stenen je minimaal nodig hebt om een toren te bouwen met een verschuiving van drie stenen. Dat wordt bereikt als [1 + 1/2 + 1/3 + ... 1/(N-1) ] / 2 groter is dan 3.
Het invullen van deze formule geeft dat
als het aantal stenen N = 227 dan is de maximale verschuiving 2.999981 en
als het aantal stenen N = 228 dan is de maximale verschuiving 3.002183 is.
Dus je hebt minimaal 228 stenen nodig om een verschuiving van 3 stenen te krijgen.
Je kan deze toren van twee stenen bovenop een derde steen zetten. Het zwaartepunt van de bovenste twee stenen samen moet dan weer net langs de rand van de onderste steen liggen. Dat impliceert dat de een na onderste steen steen maximaal 1/4 steen verschoven kan zijn ten opzichte van de onderste. De maximale verschuiving met een toren van drie stenen is dus 1/2+1/4 = 3/4. Het zwaartepunt van de toren van drie stenen ligt op (1/2 + 3/4 + 5/4) / 3 = 5 / 6.
Als je een toren van vier stenen wilt bouwen zet je weer de toren van drie bovenop een nieuwe onderste steen. Omdat het zwaartepunt van de toren met drie stenen op 5/6 steenlengte ligt vanaf de zijkant van de onderste steen van de torens met drie stenen, kan je de toren van drie maximaal 1/6 verschuiven. De totale verschuiving dan dus (1/6 + 1/4 + 1/2) = 11/12.
Als je op deze manier doorredeneert kun je concluderen dat de maximale verschuiving voor een toren van N stenen gelijk is aan
[ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...... + 1/(N-1) ] / 2.
De opgave is om te bepalen hoeveel stenen je minimaal nodig hebt om een toren te bouwen met een verschuiving van drie stenen. Dat wordt bereikt als [1 + 1/2 + 1/3 + ... 1/(N-1) ] / 2 groter is dan 3.
Het invullen van deze formule geeft dat
als het aantal stenen N = 227 dan is de maximale verschuiving 2.999981 en
als het aantal stenen N = 228 dan is de maximale verschuiving 3.002183 is.
Dus je hebt minimaal 228 stenen nodig om een verschuiving van 3 stenen te krijgen.
|
|